Hallo.
Auch ich möchte dringend davon abraten, den alten Web-Zugang (über Browser) zu "meincongstar" einzustellen!
Dafür gibt es viele sachliche Gründe:
- Es gibt sicher noch viele Kunden, bei denen die Congstar-SIM in einem "ganz normalen Handy" (also kein Smartphone) steckt. Congstar hat längere Zeit sogar Bundles aus SIM und Handy vermarktet. Diese Kunden haben dann, wenn sie kein (aktuelles) zusätzliches Smartphone oder Tablet haben keine Chance, in ihren Kundenbereich zu kommen!
- Es gibt sicher (außer mir auch) noch viele Kunden, welche die Congstar-SIM in einem älteren Smartphone/Tablet eingesetzt haben, und bei denen funktioniert dann die Congstar App nicht, weil die ein "relativ neues" Android voraussetzt. ZB habe ich die SIM in einem Tablet mit Android 5.1 - keine Chance, dass die App drauf läuft! Jetzt habe ich wenigstens das Glück, dass ich auch noch ein neueres Tablet (mit Android 8.x) habe, so dass ich die App darauf installieren konnte. Aber das ist nicht unbedingt die Regel!
- Es gibt sicher noch viele "ältere" Congstar-Kunden, die sich selbst um die Vertragsverwaltung gar nicht mehr kümmern können. Die haben dann zB Handy+SIM (und dann auch oft "klassische Handys" also Mobiltelefone, weil unkompliziert) von ihren Kindern besorgt bekommen, damit sie im Notfall erreichbar sind oder selbst um Hilfe rufen können. Wie soll man sich dann bitte da als "Kind" um die Verträge kümmern können?
- Man muss das Tablet/Smartphone dann gerade "physisch" in Händen halten, wenn man in seinen Kundenbereich will. Geht auch nicht immer!
- Was passiert bitte, wenn das Tablet/Smartphone mit der Congstar-SIM (und der App drauf) verloren geht oder gestohlen wird? Dann kann man nur über die 116116 eine Sperre veranlassen und hoffen, dass es klappt??
Im Zusammenhang damit noch eine weitere "unschöne" Sache: Seit kurzem wird (oft? immer?) ein Sicherheitscode beim Einloggen in "meincongstar" über den Browser verlangt. Kann man ja verstehen, dass da jetzt Zweifaktorauthentifizierung gemacht wird, OK.. Aber warum muss es eine SMS sein und dann ausgerechnet an das Gerät, in dem die SIM gerade steckt?
Auch da besteht das Risiko des Diebstahls und des Verlusts und außerdem kann ja das Gerät kaputt sein oder (viel trivialer und häufiger) der Akku mal wieder leer. 
Ich habe in meinem Congstar-Konto ja extra eine andere Handy-Nummer (von einem Zweitgerät) angegeben - warum kann man zB nicht auswählen, dass diese Sicherheitscode SMS an die "Kontakt-Handynummer" geschickt wird? 
Also bitte überdenkt diese unglückselige Umstellung auf "nur-App" nochmal !!!
Viele Grüße.